آیا روشی وجود دارد که بتوان با داشتن چند نقطه (حداقل ۲ نقطه) معادله درجه دومی پیدا کرد که از آن نقاط بگذرد؟

Question

آیا میشه روش یا فرمولی داشت که با داشتن حداقل دو نقطه  یا بیشتر برروی نمودار، یک معادله درجه دوم ( ax² + bx + c) داشت که از آن نقاط می گذرد؟

برای مثال معادله درجه دومی که از نقاط بگذرد:

(6,5) ، (-2,5) , (0,-1)

Answer 1

یه قضیه هست به اسم لاگزانژ که واسه n تا نقطه یه معادله از درجه n-1 میده که از اونها عبور میکنه.

 

متاسفانه اصلا الان بعد گذشت ۵ سال از اون دوران دانشگاهم هیچی ازش یادم نمیاد تا براتون توضیح بدم. اما اگه امکانش بود برنامه ای که اون موقع واسه استادمون نوشته بودم و این کارو انجام میداد را الان اینجا میذاشتم تا براحتی تا معادله برای ۲۰ نقطه را هم براتون محاسبه کنه!

 

اما فکر کنم این توضیح راجع به تقریب لاگرانژ کمکت کنه.

Answer 2

بله، فرمول نمودار تابع درجه دوم در حالت کلی به صورت y = ax^۲ + bx + c است و اگر (x_۰,y_۰) نقطه‌ای روی نمودار تابع باشد خواهیم داشت: y_۰ = ax_۰^۲ + bx_۰ + c 

• با داشتن حداقل سه نقطه می‌توانیم با استفاده از مطلب بالا یک دستگاه سه معادله سه مجهول بسازیم. در صورتی که دستگاه جواب داشته باشد a‏، b و c پیدا می‌شوند و درنتیجه تابع گذرنده از سه نقطه داده شده به صورت منحصر به فرد معین می‌شود.
• اگر دو نقطه داشته باشیم می‌توانیم دستگاهی با دو معادله و سه مجهول بسازیم. در این صورت یکی از مجهولها (مثلا c) را به عنوان عدد ثابت در نظر می‌گیرم و دستگاه دو معادله دو مجهول را حل می‌کنیم. در این صورت مقادیر a و b برحسب c به دست خواهند آمد. پس با انتخاب cهای دلخواه، توابع مختلفی پیدا می‌کنیم که از دو نقطه داده شده می‌گذرند.
• اگر یک نقطه داشته باشیم بدیهی است که بیشمار سهمی از آن می‌گذرند.

اگر توضیحات بالا را روی سه نقطه شما پیاده کنیم خواهیم داشت:

36a+6b+c=5
4a-2b+c=5
c=-1

معادله آخر این دستگاهِ سه معادله سه مجهولی، c را به ما می‌دهد و می‌توانیم آن را در دو معادله دیگر جایگزین کنیم و به دستگاه زیر برسیم:

36a+6b=6
4a-2b=6

که از حل این دستگاه دو معادله دو مجهولی، جوابهای a=24/5 و b=33/5 را به می‌آوریم. پس سهمی گذرنده از آن سه نقطه می‌شود: y = (24/5)x² + (33/5)x - 1     (منظور از / خط کسری است.)